Tip:
Highlight text to annotate it
X
Dimenzija 4
Moje ime je Ludwig Schläfli. Sem švicarski geometer.
Živel sem v 19. stoletju in odprl vam bom vrata četrte dimenzije!
Četudi vam zveni kot samohvala, sem bil pravi vizionar.
Kot eden prvih sem razumel, da prostori z veliko dimenzijami zares obstajajo
in da je mogoče proučevati njihovo geometrijo.
Če lahko ploščata bitja iz ravnine razumejo 3D poliedre,
zakaj ne bi mogli mi razumeti poliedrov v četrti dimenziji?
Eden mojih glavnih dosežkov je opis vseh pravilnih poliedrov v štirih dimenzijah.
Kaj je to četrta dimenzija?
O tem je veliko napisanega in pisci znanstvene fantastike ljubijo to temo.
Jaz pa bom stvari razložil na tabli. Videli boste, da je tale tabla čarobna.
Pomembno je, da pozabite vse o svetu, ki nam je znan,
in si predstavljate nov svet, ki ga naši čuti ne zaznajo neposredno.
Potrebovali bomo iznajdljivost kuščarjev iz prejšnje zgodbe.
Splezal bom do razgledne točke, ki je vi ne morete videti,
in poskusil bom opisati, kaj vidim od tam.
A predno začnemo, bom na tablo narisal premico.
Označim si še izhodišče.
Vsaka točka na tej premici je točno določena z razdaljo od izhodišča,
in znakom minus, če leži na levi,
ali znakom plus, če leži na desni.
Običajno to število označimo z x in ga imenujemo abscisa.
Ker lahko položaj točke na premici opišemo z enim samim številom,
rečemo, da ima premica dimenzijo 1.
Zdaj narišem še eno os, pravokotno na prvo.
Vsaka točka v ravnini table je natanko določena z dvema številoma,
običajno označenima z x in y: to sta abscisa in ordinata.
Ravnina ima dve dimenziji.
Če bi morali nekomu na premici razložiti, kaj je točka na ravnini,
bi lahko preprosto rekli: Točka na ravnini je par števil.
Pojdimo v tretjo dimenzijo.
Kreda zdaj piše po zraku in nariše tretjo os, pravokotno na prvi dve.
Točko v prostoru opišemo s tremi števili, označimo jih x, y in z.
Spet bi lahko rekli plazilcem, ki jih zanima naš svet:
Točka v prostoru je trojica števil.
Pojdimo še v četrto dimenzijo.
Lahko bi poskusili narisati četrto os pravokotno na ostale, a to ni mogoče!
Izmisliti si moramo nekaj drugega.
Lahko bi rekli, da je točka v štirih dimenzijah četverica števil (x,y,z,t).
A to nam ne pomaga prav dosti.
Kljub težavam bomo poskusili najti pravi občutek za to geometrijo.
Kot prvi poskus pri razumevanju bomo podali analogijo.
To je daljica in to enakostranični trikotnik.
In končno še pravilni tetraeder.
Naša čarobna tabla nam omogoča risanje v prostoru.
Kako bi lahko to nadaljevali v četrti dimenziji?
Daljica, trikotnik in tetraeder imajo zapored 2, 3 oziroma 4 oglišča.
Zato je smiselno nadaljevati s petimi oglišči. Začnimo!
Pri daljici, trikotniku ali tetraedru je vsak par oglišč povezan s stranico.
Torej moramo teh 5 oglišč povezati po vseh možnih parih.
Štejemo: ena stranica,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 in 10 stranic.
V tetraedru obstaja trikotno lice za vsako trojico oglišč.
Nadaljujemo na isti način, pa dobimo 1, 2, 3,..., 10 lic.
A če gremo še dlje, moramo po analogiji
dodati še tetraedrsko lice za vsako množico štirih oglišč.
Takih množic je pet.
Zgradili smo 4-razsežen objekt. Imenujemo ga simpleks.
Zavrtimo ga v prostoru, kot smo to storili s tetraedrom.
Seveda si morate predstavljati simpleks, ki se vrti v 4-razsežnem prostoru.
Kar vidite, je le njegova projekcija na tablo.
Morda vas malo zmede, ker se lica prepletajo in sekajo med seboj.
Nekaj izkušenj je pač potrebnih za gledanje v štirih dimenzijah.
Vzeli bomo simpleks, ki živi v 4D prostoru,
ga premikali in opazovali prereze s 3-razsežnim prostorom.
Tako, kot bi plazilci videli nastajanje in izginjanje mnogokotnikov,
bomo videli 3-razsežni polieder, ki se pojavi, spremeni obliko in izgine.
Tukaj je simpleks, ki prehaja skozi 3-razsežni svet.
Zdaj bomo srečali še več 4-razsežnih poliedrov,
med potovanjem skozi naš 3-razsežni svet.
Tukaj je hiperkocka iz družine, ki se začne z daljico, kvadratom in kocko.
Treba je reči, da je tako pridobivanje občutka za geometrijo precej zamotano.
Jaz sem odkril 4D analoga ikozaedra in dodekaedra.
Imata zapleteni imeni, zato ju bom poimenoval kar 120-celica in 600-celica,
ker ima prvi 120, drugi pa 600 lic.
Poglejte 120-celico, ki pravkar potuje skozi naš prostor.
In zdaj je tu še 600-celica.
Ko rečem, da ima 4D polieder 600 lic, seveda mislim na njegova 3D lica.
Da, teh 600 lic je 600 tetraedrov.
Podobno je 120-celica sestavljena iz 120 dodekaedrov.
Kmalu bomo izvedeli, kako se z njimi bolje spoznati.
Da bi opazovali te 4-razsežne objekte z našimi 3-razsežnimi očmi,
lahko gledamo njihove sence.
Objekti še vedno živijo v 4D prostoru, a so projicirani v naš 3D svet,
kot bi slikar projiciral pokrajino na svoje platno.
Prav to smo ravnokar naredili s simpleksom.
Tukaj je hiperkocka.
Seveda se vrti v prostoru, da lahko občudujemo vse podrobnosti.
Opazimo na primer, da ima hiperkocka 16 oglišč.
Tukaj je še en novinec, ki ga imam za enega svojih najlepših odkritij.
Objekt, ki ga imenujem 24-celica, nima pravega analoga v treh dimenzijah.
To je povsem 4-razsežna stvar.
Na to odkritje sem zelo ponosen. Mar ni čudovito?
Ima 24 oglišč, 96 stranic, 96 trikotnikov in 24 oktaedrov.
Pravi mali dragulj!
Tukaj je senca 120-celice v vsej njeni mogočnosti!
Morali se boste strinjati, da je precej zakomplicirana!
Zlezimo vanjo in si oglejmo njeno strukturo.
Glejte: 600 oglišč, 1200 stranic.
Vsako oglišče je stik štirih stranic. Struktura je povsem pravilna.
Vsa oglišča in vse stranice imajo enakovredno vlogo.
Žal naša projekcija pokvari to simetrijo.
Preizkusimo svojo domišljijo!
Predstavljajte si objekt v 4D prostoru,
kjer velika grupa vrtežev meša oglišča in stranice.
Prvak pa je... 600-celica.
Kot gigantska makromolekula s 720 stranicami ima 120 oglišč,
v vsakem od njih se stika 12 stranic.
Naše raziskovanje 4-razsežnih poliedrov se tukaj še ne konča.
Stereografska projekcija nam bo dala še boljši občutek za njihovo geometrijo.