Tip:
Highlight text to annotate it
X
Vlaknenje ... Nadaljevanje
Vrnimo se k 2-razsežni sferi in njenim vzporednikom.
*** vsako točko 2-razsežne sfere si predstavljajmo Hopfovo krožnico.
Poglejmo, kaj dobimo *** ekvatorjem...
Tole pa dobimo *** vzporednikom, ko se pomikamo proti jugu.
Zakaj se zdi, da se torus tanjša?
Zato, ker imamo *** južnim polom le eno krožnico.
*** severnim polom pa vidite ravno premico
oziroma krožnico, ki vsebuje neskončnost: to je rdeča premica.
Zdaj vse to malo zavrtimo naokrog.
Zasuki, da, toda zasuki v 4-razsežnem prostoru.
Iskreno povedano: nekatere teh slik so poznali že davno pred menoj.
Odkritje štirih družin krožnic na torusu
se običajno pripisuje Markizu de Villarceau,
a še zgodnejše zametke te ideje najdemo
na primer v skulpturi iz katedrale v Strasbourgu.
Vzemimo torus revolucije: to ploskev opiše krožnica
pri vrtenju okrog osi v svoji ravnini.
Poglejte prerez torusa s pazljivo izbrano ravnino.
Ta ravnina je bitangentna na torus, saj je nanj tangentna v dveh točkah.
Opazite lahko, da ta ravnina prereže torus vzdolž dveh krožnic.
To se imenuje Villarceaujev izrek.
Bitangentna ravnina prereže torus vzdolž dveh krožnic.
Seveda pa bitangentna ravnina ni ena sama.
Tukaj je še ena, ki nam da dve drugi Villarceaujevi krožnici.
Isto velja za vse bitangentne ravnine, moramo se le vrteti okrog osi simetrije.
Skozi vsako točko na torusu lahko narišemo štiri krožnice,
dobljene s primernimi prerezi.
Ena od teh krožnic je vzporednik, druga poldnevnik,
potem pa še prva in druga Villarceaujeva krožnica.
Tako se prepričamo, da je torus pokrit s štirimi družinami krožnic.
Dve krožnici iz iste družine se ne sekata.
Modra krožnica seka rdečo v eni točki.
Rumena in bela se sekata v dveh: to sta Villarceaujevi krožnici.
Dobro si oglejte rumene krožnice: to so Hopfove krožnice!
Se še spomnite, kaj smo videli *** vzporednikom v vlaknenju?
Videli smo torus, pokrit s prepletenimi krožnicami,
tako kot je tale pokrit z rumenimi krožnicami.
Kaj pa je z belimi krožnicami?
Te predstavljajo vlakna še enega Hopfovega vlaknenja,
ki je zrcalna slika prvega.
Za konec sprehoda si izberimo torus s svojimi štirimi družinami krožnic.
Predstavljajmo si, da ga vrtimo znotraj 3-razsežne sfere
in nato stereografsko projiciramo v 3-razsežni prostor.
Na ta način dobimo ploskve, pokrite s štirimi družinami krožnic,
to so takoimenovane Dupinove ciklide.
Če torus poteka skozi projekcijski pol, ploskev postane neskončna.
V tem gibanju lahko dve strani celo zamenjamo.
Notranja stran torusa je rožnata in zunanja zelena.
Preprost zasuk v četrti dimenziji in … Zadetek!
Zelena postane rožnata in obratno.
Mar ni to veličastno?