Tip:
Highlight text to annotate it
X
Kompleksna števila
Sem Adrien Douady.
Moje življensko delo v matematiki je bilo osredotočeno na kompleksna števila.
Prispeval sem k algebraični geometriji in teoriji dinamičnih sistemov.
Kompleksna števila imajo dolgo zgodovino.
Na levi sta Tartaglia in Cardano, matematična pionirja iz renesanse.
Na desni sta Cauchy in Gauss, ki sta teorijo utrdila v devetnajstem stoletju.
Ta števila niso tako kompleksna, kot bi morda sklepali po imenu.
Najprej so jih imenovali nemogoča in še danes jim mnogi pravijo imaginarna.
Res je zanje treba nekaj domišljije, a jih danes srečamo povsod v znanosti
in se nam ne zdijo več posebej skrivnostna.
Z njimi lahko recimo konstruiramo čudovite fraktalne množice,
s katerimi sem se sam veliko ukvarjal.
Ustvaril sem celo film Dinamika zajca, eno prvih animacij o matematiki.
Naj začnem z razlago kompleksnih števil na tabli.
Matematiki zelo radi pišemo po tabli...
Kmalu boste videli, da se moje ravnilo, vzporednik in kotomer
včasih obnašajo prav čudno...
Narišimo na tablo črto z merilom.
Ena najčudovitejših idej v matematiki je povezovanje geometrije in algebre.
To je izhodišče algebraične geometrije.
Tako, kot seštevamo števila, lahko seštevamo tudi točke.
Tukaj sta na črti rdeča in modra točka. Seštejmo ju!
Dobimo zeleno točko: 1+2=3!
Ko se rdeča in modra točka premikata, se premika tudi zelena, njuna vsota.
Še bolj zanimivo je množenje točk.
Poglejmo si recimo množenje z -2.
Točka 1 se preslika v točko -2, seveda.
In če to ponovno množimo z -2, moramo narediti isto stvar:
zamenjati stran glede na oglišče in podvojiti razdaljo od izhodišča.
Dobimo 4, seveda.
Če množimo dvakrat z -2, smo množili s 4.
Množenje z -1 je zares enostavno.
Vsaka točka se preslika simetrično glede na izhodišče,
povedano drugače, naredili smo polkrožni zasuk,
ali vrtež za 180 stopinj, če želite.
Ko pomnožimo število s samim seboj, je rezultat vedno pozitiven.
Na primer, če množimo z -1, smo naredili polkrožni zasuk,
in če to ponovimo še enkrat, pridemo nazaj v začetni položaj!
To pove, zakaj je -1 krat -1 enako +1.
Preprosto!
Poglejte na primer, da množenje z -1 pošlje 2 v -2,
in če to pomnožiš še enkrat z -1, dobiš nazaj 2.
Očitno, mar ne?
Torej, nobeno število pri množenju s samim seboj ne da rezultata -1.
Z drugimi besedami, število -1 nima kvadratnega korena.
Toda s tem zelo podcenjujemo smisel matematikov za nove iznajdbe!
Na začetku 19. stoletja je imel Robert Argand zares odlično idejo.
Rekel si je: "Če je množenje z -1 zasuk za 180 stopinj,
bo njegov kvadratni koren zasuk za polovico tega kota, torej 90 stopinj.
Če namreč dvakrat zapored zasučem za četrt kroga,
dobim zasuk za pol kroga!
Kvadrat zasuka za četrt je polkrožni zasuk, torej -1."
Preprosto je, ko enkrat veš, kako!
Argand se je odločil, da naj kvadratni koren iz -1
predstavlja točka, kjer se znajde 1 po zasuku za 90 stopinj.
Toda to nas prisili, da zapustimo vodoravno premico,
in predstavimo iskano število s točko, ki na njej ne leži!
Ker je ta konstrukcija malo nenavadna, imenujemo kvadratni koren iz -1
imaginarna enota in jo označimo z i.
Ko zberemo pogum in zapustimo premico, je vse ostalo enostavno.
Predstavimo lahko točke 2i, 3i in tako naprej...
Vsaka točka v ravnini predstavlja neko kompleksno število
in obratno, vsako kompleksno število določa neko točko v ravnini.
Točke v ravnini postanejo števila na svoj posebni način!
Lahko jih seštevamo, tako kot običajna števila.
Poglejte rdečo točko, torej 1+2i.
Prištejmo ji modro točko 3+i.
S seštevanjem kot v osnovni šoli dobimo 4+3i.
Geometrijsko je to ravno seštevanje vektorjev.
Seštevanje kompleksnih števil nam torej ne dela problemov.
Precej bolj zanimivo pa je, da lahko kompleksna števila tudi množimo,
podobno kot množimo realna števila. Poglejmo.
Kompleksno število že znamo pomnožiti z 2, na primer.
2 krat 1+i nam da 2+2i.
Geometrijski pogled na množenje z 2 je preprost,
gre za razteg s faktorjem 2: če rdečo točko podvojimo, dobimo zeleno.
Tudi množenje z i ni posebej zahtevno, saj ustreza zasuku za četrt kroga.
Da bi množili 3+i in i, moramo 3+i le zavrteti za četrt kroga.
Dobimo -1+3i.
Saj niso tako komplicirana, ta kompleksna števila!
Brez problemov lahko zmnožimo tudi dve kompleksni števili med seboj.
Poskusimo na primer množiti 2+1.5i in -1+2.4 i.
Najprej množimo z 2, nato z 1.5 i, nato rezultate seštejemo.
Tako dobimo: "2 krat..."
Torej: -2 + 4.8 i - 1.5 i + 3.6 i²
Toda i² je enak -1, saj smo i s tem namenom izumili!
To nam da -2 -3.6 in tako dalje.
Nekoliko počistimo in dobimo -2 -3.6 + 4.8 i - 1.5 i,
torej -5.6 + 3.3 i.
Tako, zdaj znate množiti kompleksna števila.
Z drugimi besedami, množiti znate točke v ravnini!
Navdušujoče! Menili smo, da je ravnina 2-razsežna,
ker smo potrebovali dve števili, da bi opisali položaj točke,
zdaj pa trdim, da zadošča ena sama točka!
Seveda, zamenjali smo obseg števil in zdaj delamo s kompleksnimi.
To je priložnost za vpeljavo pojmov modul in argument kompl. števila.
Modul kompleksnega števila z je razdalja od izhodišča do točke,
ki predstavlja število z v kompleksni ravnini.
Določimo z ravnilom modul rdeče točke, ki predstavlja število 2+1.5 i.
Vidimo, da meri 2.5. Modul števila 2+1.5 i je torej 2.5.
Za modro točko dobim 2.6.
In za zeleno, ki je produkt dveh točk, dobim 6.5.
Kaj je torej pravilo? Modul produkta dveh kompleksnih števil
je natanko produkt modulov teh dveh števil.
Argument kompleksnega števila je kot, izmerjen med abscisno osjo
in premico, ki točko povezuje z izhodiščem.
Argument rdečega kompleksnega števila je na primer enak 36.8 stopinj.
Argument za modro točko je enak 112.6 stopinj.
In za produkt, zeleno točko, dobimo 149.4 stopinj.
To je ravno vsota argumentov dveh prvotnih števil...
Pri množenju dveh števil se modula pomnožita, argumenta pa seštejeta.
Prvo srečanje s kompleksnimi števili zaključimo s stereografsko projekcijo.
Poglejmo si sfero, tangentno na tablo v izhodišču.
Z uporabo stereografske projekcije vsaka točka na tabli,
torej, vsako kompleksno število, ustreza neki točki na sferi.
Edino severni pol sfere, iz katerega sem projiciral,
ne ustreza nobenemu kompleksnemu številu in rečemo, da ustreza neskončnosti.
Matematiki tudi rečemo, da je sfera kompleksna projektivna premica.
Zakaj premica?
Ker lahko lego njenih točk opišemo z enim samim številom.
Zakaj kompleksna?
Ker je to število kompleksno.
Zakaj projektivna?
Ker smo z uporabo projekcije dodali točko v neskončnosti.
Mar niso matematiki čudni, ko trdijo, da je sfera isto kot premica?